5xy + + 3x + 2y - 7 = 0 es la ecuacin de una hipbrbola, hallar las Para y por lo Continuidad en un intervalo cerrado Propiedades fundamentales de por(ii) e (i) Luego f ( x ) tambin ea continua en el punto O. mismos. Multiplicando y dividiendo por resulta a ,x+alim cos x = cosax+aEJEMPLO 3. -,,As, en el presente caso hemos demostrado que limx-ad a. ngulo que hay que rotar los ejes para eliminar el tnnino cuadrtico lim f ( x ) y concluir que f ( x ) tiene una discontinuidad de Tenemosy =3 2 -- - .2x-1 xDerivacin y referida a los nuevos ejes no contenga trminos de segundo grado, ni x'sen0 - yfcosO. + 1 -+7+3m n + l n+m Tn+ l i m T n li im n+m n+m lim =limn n n = 1 q>Op=O, q=OB2-4~c>0:Hiprbolap=O, q c 0 6#0 una variable que recorre los nmeros enteros 2 O. fiinciones dadas cuando x = a y definir las funciones en el punto a What’s the quality of the file? prueba que lim (1+~ ) =1e .En general, se cumple limn+au= exp ( x , lo que prueba que f ( x ) es continua en 2n.x+2nContinuidad en u ngulo de rotacin 0 estA comprendido entre 0' y 90'. ecuacin de H.PROBLEMA 11. ... Cálculo 2; Subido … 1761. hiprbola.PROBLEMA 1 1. debemos hallar 6 > 0 talx -13nicin de lmite de una funcin. perpendicular al eje transversal. continuas:1. solucin es (2,3). O, y correspondien ternente f ( x ) toma los valores 1 y -1. De acuerdo al paso 1la ecuacin de la hiprbola asntota es horizontal. o en las partes superior o inferior de la rama izquierda de la propiedad.PROBLEMA 23. Se tiene1s- -1qdu ds(Por el caso 1, Series49Tambin se suele escribirpara indicar que la serie es tiene ctg 20 Si, por N%).Hallar la ecuacin de una hiprbola con eje transversal paralelo comprendido por las rectas x = a - S , x = a + 6 , y = L - E , y = Buu + Cu2 2 22][ A v 2- Buu + c u 2 ]= -4Au v + ~ABU" - 4ACu3 - Cálculo Diferencial Asntotas: 3x + 3y = -1, 12x + 3y = -5 ; Probar que se cumple Puesto que O 20 5 efecto, las funciones bo, blx , ... , bmxm son continuas en a por (3) La funcin cociente(X' - es continua siempre que seccin cnica degenerada, aludiendo a los casos que acabamos de , h+o+ sen hylimsenh=O, s e n h > O ,h-O+tg x = limh-+~--cos h Luego de (3) se sigue Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (13.1 MB, 549 trang ) CALCULO DIFERENCIAL Maynard Kong … fuese convergente, por 3, sera acotada. finalmente dos formas simplificadas, a saber:PROBLEMA 3. a) una elipse; b) una elipse punto, cuiil es el punto? funcin. Se cumplen las siguientes hiprbola. Libros y cursos para estudiantes. traslacin de ejes, donde (h. k ) es el origen del sistema de Xem thêm: maynard kong - cálculo diferencial, maynard kong - cálculo diferencial, , 3 Fórmulas de geometría analítica del plano, 2 Ecuación del círculo en coordenadas … > 0vemosqueO < lx - al < Sx-*aimplica-) 9N . (3.1) e' = lim (1+n++mt)nY-+O(n TenemosPROBLEMA 29. tieneEntonces dado s > O podemos encontrar N tal que n 2 N cociente de dos funciones. de la funcinSOLUCION. Lmites de funcones polinmicas, enteros no negativos (d,) tales que d, es un dgito decimal si n 2 a PROBLEMA 10. n! embargo, la definicin de x implica que es un entero; en efecto p q! x ) U 3 ( d.x;(\I;Iix) -(J;l+x)dx-2/3ddy Y o tambin - = - . 24y + 86 = O.P O L M 7. Calcularlirnx -8 -3x-12 x 4- 16SOLUCION. de primera clase) en el punto x = O . lirn k ( x ) , y por lo tanto, no existe lim k ( x ) .x+2+x-2-x+2( entonces se cumplen las dos desigualdades a, - L < E y bn - L Si la ecuacin 3x - 2y = 6 referida a los nuevos ejes no parte,lirn g ( x ) = lim 13%+ 7 = 3 ( 11 P)+ 7 1=0Continuidad185y Calcular - si R BE A dyJxa+l+JX2-Iy==*dxSOLUCION. Derivar la funcin R BE Ay =a + bx en a entonces f ( x ) ( es una funcin continua en a.SOLUCION. Supongamos que lirn f ( x ) La obra ofrece abundante material práctico, mediante ejemplos y problemas resueltos y propuestos, y está dirigida a los estudiantes de Ciencias, Ingeniería y Economía. cualquier medio, sin permiso expreso de los editores. De Utilizando las Continuidad en un intervalo abierto Ejemplos Propiedades de demostrar que existe un nmero b dado por una representacin (1) Tenemos lim f (8).= lim %+a %+a menor queyporlotanto la,b, -ABI b,,1 1 -= -BSOLUCION. negativos, yX> O . - Csen 20B2) Debemos probar que Bt2- 4A'C' = B2 - suma de la serie infinita del segundo miembro.Se define el nmero e limx+-8J1-x-32+GSOLUCION. Elipse. 8ACuZv2- 4 A c u 4 + 4 B u v - 4ACu4 =B2 2 2~ ( + u ~- 4 A~ ( u 2 + trmino constante deben ser nulos, debe cumplirse h-1=0 ecuaciones parte superior de la rama derecha de la hiprbola, es decir que se tantoP O L M 27. Lmite de la composicin de Las absurdo. material prctico, mediante ejemplos y problemas resueltos y Sitio Web de Descarga Gratuita de Libros de Ingeniería. que -6 c x - a O implica f (x)l> N .16.9 TEOREMA. (2) Si Lt 1 y M = f m , entonces(3) Si L = 1 yC = escribimos x = nn + n/2 + h , con h > O. ytgx=sen x -= sen(nn + < E, yborlotanto lirn c = c .n+oo, PROBLEMA 2. ( 11, (3) y (4) se sigue O < Ix - ] < 6 implica que I'1- 3 ( Tenemoslim(4x + Calcular lim%+m[-$)=limx+a>SOLUCION. Utziversidad Catlica en cursos de Matemticas e Irformtica de La ecuacin de segundo grado Ax2 Libro de #Cálculo diferencial [Maynard Kong] https://civilgeeks.com//?p=4798 ( x ) = +m .%+a-4.lim f ( x ) = -a,%+a-(2) Decimos que la recta y = [l+ f ( x ) l V f = e , si lim f ( x ) = O, (')x+a X-+Ql i m ( 1 + Se ha desempeado como profiesor del Departamento de Ciencias de la Utziversidad Catlica en cursos de Matemticas e Irformtica de niveles y especialidades variados. algunas funciones bsicas Nota, Problemas Resueltos Problemas Propuestos Regla de derivacin en asntota ms prxima a P, demostrar que la distancia d(P, L) tiende a Probar quex-(,az+;)+(1)limtgx = efecto, se cumplelimx = a = g ( a ) , ya que parax+aE> O existe finitos lirn f (x) y lim f (x) y no son iguales los tres valoresx+a a2 + Discutir la Sea u y'22+4y'2+16=0xf2 161.4c Luego a 2 = 1 6 , b2 = 4 , c2 = a2 +b2 = 2 ylirnx+2+limJx+2=J4=2Yx-12'JZZJX-2 = O.x-12'Por lo tanto, por el Sin punto O'. (1) En el primer caso decimos que la recta lim-x=lim%+-m-2+ 5/x(pues -x > O puede introducirse dentro de puesto que deseamos eliminar el trmino en x'y', dicho coeficiente no se anule.CoPROBLEMA 4. f(a) no exista). = px. implica2NIg(x) -L 01 < --2NoAs,g(x)tomandog(x)S = mnimo {S,, S2} 5)2(5x - 7)3 2x5 - 4 X 3+(multiplicandopor1 axtan-lirnx+a= limx+mto Parbola dos rectas paralelas: y"mmo en coordenadas Edicin, Diciembre d e 1988 Mayo de 1991 Junio de 1995 Marzo de 2001, Diagrarnacin: Jos C. Cabrera ZigaNora O. Cabrera Ziga. hallarL2un%+OS1>O talque O 0 tal que: O < lx - al < S, enteros n van creciendo, los nmeros S, se aproximan a un nmero real y%+aii) f (a) no existe o, si f (a) existe, se tiene lim f (x) * f PROPUESTOSPROBLEMA 1. Definicin. 4 , C = 1 y por lo tanto B~ - 4AC = 0 . Nota. metodo. es una funcin tal que(1) f ( x ) es continua en cero y(2) f ( x + y segundo es < O , pues e > 1 implica e > 1 y 2 1 - e En efecto, dado r > O sea N un entero positivo mayor en dondeS,= a,+al+ ... +a,; luego dea , = s , + ~ - S , , resulta - 1 ySe tiene O < b,a , = b: . cos(nn + ~ / 2 sen h , ) cos(nn + x/2 + h) con Luego=cos(nn + ~ / 2 cumple al menos una de las condiciones siguientes:2.lim [ f ( x ) - x2= x 2 xw3 = x8I3.Luego-d~- ( X 8d 3 ) = - x = 18 513dx3) Tenemosy Telefax 4600872, telfono 4602870, anexos 220 y con la parbola. as para determinar si la sucesin es convergente se puede omitir View calculo_diferencial.pdf from INGENIERIA 07 at Valle de México University. ,22RESPUESTA. +2n-)=2n-2n=Omx+2ntf ( x ) = lim ( x - 2n)x+2n*(pues 2n < x < RESPUESTA. Por definicin de lmite, para- > O -uy' ,y = ux' + uy'junto con la condicin adicional u2 + u2 = 1,que estas series son convergentes para cualquier valor de x, y por lo Inifica que los valores de f(x) se aproximan a L tanto como se Enseguida probaremos que, en obtenemos-. agrupando trminos:Puesto que los trminos de segundo grado y el Sucesiones convergentes y divergentes. Entonceslim M ( x ) = M ( a )x+a(1) Existe un S edición, 2001 PUCP En este texto se desarrollan los conceptos fundamentales del Cálculo Diferencial y sus aplicaciones. Clculo de extremos absolutos en intervalos arbitrarios Concavidad y de y =SOLUCION. nz 2r por S) , problema 9, se cumple Si f ( x ) Una manera de definir Criterios de No podemos introducir x directamente bajo el signo radical +(C+ 0)ESPECIE DE CURVADISCRIMINANTEGENERO DE Menus. OBC) (en el tringulo DPC)x = X ' C O S ~- y'seneEn forma similar se x/2 + h) cosx cos(nn + x/2 + h)-(-1)" cos h -(-1)" sen h--tos hsen esto es, si existe un nmero L, al que se llama suma de la serie, TenemosLuego-= - -h: ki:O J n .a bx -x2) = "a J a 1 du b [ b parte,x+-2lim f ( x ) = limx+-2( x + 2 )( x + 3 ) x2+5x+6 = lim ( x Libros y cursos para estudiantes. Aplicaciones geomtricas. En este texto se desarrollan los conceptos fundamentales del Cálculo Diferencial y sus aplicaciones. .RepresentacibngrficaSi lim f ( x ) = +m entonces los valores f ( x Problemas Resueltos Definicin de la ecuacin general de segundo 4AC.Empleando las expresiones que hemos calculado y llamando u = Lima, Per. x'x2SOLUCION. nP. una hiprbola si e > 1,ya que entonces la Supongamos que'tSea P =(%,y) un punto t l cumple al menos una de las tres condiciones siguientes:(1) f (x) no segmentos y ngulo entre dos curvas Razn de cambio. ex, donde x es un nmero real, es la . lim ( x - 313 = 0 .x+3-(x-4) = Luego lirn - +m, por el teorema 6.9. CALCULO DIFERENCIAL. la desigualdaden dondeR =2x2 -= - -- X&N+l2 .y por lo 0 5 x 5 2 , entonces 2 S x + 2 < 4, y por lo tanto lx + 2 S 4As, siguientes funciones en el punto indicado de manera que resulte ser x2 - 2x + 5 , g(x) = sen xson continuas, yh(x) = sen (x2- 2 x + 5) 2) Si e = 1,entonces C es una parbola. PROBLEMA 5.Hallar la Puesto que f ( x ) es una funcin racional, sabemos que es una nmeros u y u.5.6 PROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMA 1. existen enteros N, y2N z tales quen>N, implica l a , - A ( < continua en el punto O probar que f ( x ) es continua en todo La elipse -- 4. si 0 < ( x - a < 61 entonces f ( x ) < - c O.2LEn efecto, tanto en (11)2a(l)=-1oa=-l/2,de dondeb = 3/2 .Derivacin y Funciones Punto medio. contiene al punto a . 2(2u2 + 3uu + 2u2)= 7 6(u2-u ) = O 2(2u2 - 3uv + 2u2)= 12~~ 8) =~'~La Ecuacin General de Segundo Grado109De las ecuaciones ( 1 ) y Consideremos una K , y I m a l > ~ p o r l o t a n t o ; Si (a,) es una sucesin y L es un nmero real, escribimos. Sea dadoE> O . Matemticas dc la Universidad Nacional de Ingeniera. contiene trmino constante y la distancia de O' al origen XY es 5, Suponemos que 8 est comprendido entre O" y 90, y De una manera ms xy2 - 3y2 - 4 x = 8 y trazar la grfica.SOLUCION. En efecto, si-6 < x < Oo1 -< x < , no existe lim 1x1, y la funcin 1x1 es discontinua ena=n.Luego [xj seccin 0.7.4 . Entonces x1 si x > O-1(pues 11 = x ) x (pues 1 1= -x) ecuacin de una hiprbola cuyas 5 y + 12x - 39 = 0 , 5y - 12x + 9 = Demostraremos que d ( ~ , tiende a O L,) todo punto x,c) tg x =sen x -, en todo punto x tal que cos Xcosx # y'16RESPUESTA.1 - - 1. De las definiciones, (2) La funci6nx+-2es continua en todo 2b2 recto es - , donde a y b son los ejes transversal y conjugado, funciones Mgonom6tricasa) sen x , en todo punto x b) cos x , en = L > 0 y lim g ( x ) = M .x+a%+aLlamemos lirn f ( x ) ~ " ' = (5) La funcin raz enbsimadrnes continua en tienepara todo x z 1. de los puntos del plano tales que su distancia a un punto fijo F es pares de coordenadas (x,y) , (x',y') del punto P son:EJEMPLO 1. Mediante una traslacin de ejes eliminamos el trmino lineal .c+dxSOLUCION. Se prueba que para cada a > O Maynard Kong CALCULO DIFERENCIAL CUARTA EDICIÓN PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FONDO EDITORIAL 2001 Primera Edición, Segunda Edición ... En … propiedad de que si P es un punto de la hiprbola y d(P, L,) y d ( P ) c O, y de (l), que existe un nmero b > O tal que p(b) > O. derivada de las siguientes funcionesSOLUCION.1) Sea u = a2- x 2 . Convergencia de sucesiones (x) = -. una asintota oblicua a la izquierda. Dtferencial, Clculo Integral, Basic, Lenguaje de Programacin tanto es de esperar que la sucesin no sea convergente, lo que cartesianas XY. haciendo que m +00 se tienee-S,Sn+2c-1 n!n(n+l)! ON'"entonces1 -< N ,xnpues n es impar-As, se ha probado que .Calculamos los lmites laterales en x = 2 :lim h(x) = lim ( x - 4 ) Siendo y = f(x) una función diferenciable en el punto x, la diferencial de y ( en el valor x y para un incremento Δ x ) está expresada por dy = f'( x) Δx, considerando Δx un incremento arbitrario … Lmites de la suma, diferencia, producto y Calcular la derivada de y = 2 f i .SOLUCION. coordenadas en XY,y ( x ' , ~ ' ) coordenadas en XY' de un punto . Related Papers. Angulo entre dos rectas. J;2Nota. nmeroOreal. +x]+x]=limx++mx(x+u)-x2J-+~=lim.++mCWC:JX(X,a) + .= Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas XY con origen en para todo n z 1 ; luego ( n 4 ) es acotada. Universitaria, cuadra 18, San Miguel. (-a, vertices: (-3, O), (3, O); O), (a,O);excentricidad: e = & CURVARADICANDOB2-~ACCOElipse6 >0 6=0 6c OP+OElipse Elipse-punto .1 EJEMPLO 3. solo punto: (2.3).pues si completamos cuadrados obtenemos(2) La hiprbola equiltera se cumple A ' + C f = O . As,debemos tener4 seno cose - 2&(cos2e - sen28)= funci6n f (x) =( I + X )-1 ~2xno est definida en x = O. Definir f 2! De la definicin de lmite se sigue que L es el lmite de (a,,) , n a a Sea P = (x, y) un punto de la hiprbola. a + O y queXlimx+a-=xsenxsena - por las propiedades de lmites. Toda sucesin no acotada es divergente. preservacin de la continuidad Teorema: Composicin de funciones curvas de segundo grado que no son secciones cnicas, por Evaluacin de formas indeterminadas, Problemas Resueltos Problemas Propuestos Funciones crecientes y el numerador como el denominador)PROBLEMA 6. ~ ( ~ ' - 2 ~ ' ) ( 2 ~ ' + ~ ' ) + 1 6 =-x ) 0 o- - - = Teorema de la diferencia constante Problemas Propuestos puntos de inflexin Problemas Resueltos Problemas Propuestos 0 = 0 sLa Ecuacin General de Segundo Grado111Como 28 = 60'' cero si d ( P , C) crece indefinidamente; es decir que se cumple racional y escribamos e = - ,en donde p y q son nmeros enteros se obtiene2&( x' - ay1), y =J5J5(2x' + y ' )g ( x t-2y')- $ ( x de donde tambin 1< b,+, < 2 .Adems, se cumple b,bn+,, Luego, g ( x ) es continua en todo punto x z -% .+711%Por otra lirnxxX11'+ot1=1 ,lirn'-+O+lsen xl sen x -= lirn -= La Ecuación General de Segundo Grado 6. = aY3- xY3 de manera que y = u3I2.TenemosP O L M 20. llmite de f ( x ) es +O o que f ( x ) decrece indflnidamente cuando Hallar la Sign In. demostracin directa de este resultado haciendo uso de las contiene a F.1) Probar que los puntos P del plano cuya distancia que O < Ix - a < S implica l1 Paso l. Existe 6 > 0 tal que critico. = O no tiene puntos, ya que la ecuacin puede escribirse ( x - Y ) 2 1 )se tiene,J x 2 + y 2 = e Ix+dl,y elevando al cuadrado ambos 4AC.El conjunto de todos los puntos ( x ,Y ) del plano que queY=&A,/=a(2)Supongamos que P = (x, y) se encuentra en la Distancia de un punto a una recta La Hipérbola 5. Cálculo Diferencial probar. En el L + E . x+ 3y + F = 0 .Hallar los valores de F para los cuales la curva es Aplicando la propiedad Fue cero se requiere que B' = O , o sea(-A+C)sen28+ Bcos20=0ctg28 =cos -( n + 1)'n2)P Por el absurdo, supongamos que e es un nmero teorema 6.9, obtenemoslim-= xlim+ 'm x-2 +2 JX-2=+m.PROBLEMA^. x = ux' - vy' , y = vx' + uy' donde, u 2 + v 2 resolviendo las ecuacionesEncontrar las asntotas y el centro de la ) = lim f ( a ) . yx+ase cumple la igualdad.Lmites de Funciones127Queda bien +,=A+BESOLUCION. Fundacin von Humboldt en u n programa de posdoctorado, y , k = l...,g .k!La contradiccin obtenida demuestra que e no puede nulo-14uv+ 24(-u 2 + u 2 ) = Oo7uv = 12(u2- u 2 )Resolvemos las ms simple de la funci6n f (x)-1. Punto ka1< S implica f ( y )- < E . Hallar los puntos de discontinuidad dado, delim f ( x )= LIf(x)-se sigue que existe un S, > O tal - = < . logaritmo natural de a), tal que a = eY Se define n .aX e v =ex'"", Se dice que la El nmero e. Otras pqiedaes. entendido que si n o q son nmeros pares, debe asumirse que lirn f ( Se obtiene de-=1y 144(1-2u2)o, u 4 - u 2+ 144 = 0 , 625que resuelta para u 2 los puntos x tales que-* O tal que Ix - a < S implica f ( x ) - Sucesiones y series -- 1. u ~= ) 2 - 4 A C , u ~ ) c B~puesto que u2+ v 2 = 1.2PROBLEMA l)!-1 (n+ 2)!+ ... + m!1+51(n+2)(n+3) n + p ) ...(1, siendo p = m - es dada por:f(x) si x + O si o2 - xsen21si x + Osi x=OEJEMPLO 2. Hiprbola dos rectas que se cortan.12. La hipérbola -- 5. dxdx3232) Teorema: Clasificacin de la ecuacin de segundo grado segn el de cada una de las siguientes funciones R BE ASOLUCION.d 1) Tenemos propuestos, y est dirigida a los estudiantes de Ciencias, Ingeniera Pmbar que no , existe u = Q, u = 3 . La funcibn racional sea # r=n+2S-x-=11n+2(n+l)!1-r(n+l)! x ) = lim (2n - x )x-+Zn-(pues 2n - 1 < x < 2n, cuandox Entonces (2)se escribeRque es una hiprbola con ejes paralelos a Funciones141con u = f ( x ) y v = L ,tenemosIf(x)"- L"1SIf(x)- 2 ~ e n x ) =lim ~""+O x+O "(fmnx)1lirn+ ,O-= e2 xPROBLEMA 8. (3) x = 1PROBLEMA 7. A E5.7 DEFINICION. Tenemos=a - z +x" .a SOLUCION. x'cos0 d(A, B) = d(D, C) = y' seney por lo tantoY,(en el tringulo Derivar la funci6n ySOLUCION. cero existe un x en dicho intervalo tal quetgx-x=O.As, hemos < 6 implica 1f ( x )x+aLIx+ac E , y empleando (*) tenemos1 1f ) = f (x).f ( y ) , probar que f ( x ) es continua en todo punto a Parbola: dos mostrar la deduccin d e los teoremas mas importantes sobre los Propiedades bsicas. 4ABuv3 ++ 4 B 2 u 2 u 2- ~ B C U ~ - 4ACu4 + ~ B C U - 4C 2 U 2 U 2 Hallar los puntos de discontinuidad < g(x) 5 h(x) para todo x + a , y(2) lirn f (x) = lirn h(x) = Notemos que son una función definida en un cierto intervalo abierto, que se va a considerar su dominio. lim%+O+1 -=Xn+*,(3)lim-=si n es par, si n es impar.6.1 1 LIMITES D p(x) = x+ ...+-bo1xm9lim#++m1 - = O , a travs de valores el punto F tal que el eje X sea perpendicular a la recta L y Propiedad EHemos dicho que la funcin f(x) es discontinua en el punto a si se R BE Supongamos que e i t un nmero real L tal xse que lim f ( x que dado que O c Ix - c 6 implica que4ESea dado Se tieneE> O . captulo al comienzo para tratar las sucesiones y series de nmeros y O, y que pasa por el punto (-8,3).asntotassonSugerencia. polinomialesP(x)= bo + b1x+ ...+ bmxmyQ(x)= co + clx + ...+ c,xnson En asntotas y el centro de la hiprbola. Hallar lim (sen J%+a,E con h < O. Luego lirn.t(n.+a)-pueslim(-cosh)=-1h+O-a travs de Si L = lim a, con A y B nmeros reales tales que A < L < B Este resultado junto con I[(J--P)']' 2 ( & 3 =-")(~ 1 , tenemos que-= 11 x111X2 'y por Hallar los lmites laterales de f (x) = Problemas resueltos. E E P O 1. sucesin (a,),n = N,, N , + 1,... , con subndices a partir de N, ; En los ejes el ngulo de rotacin 0 debe cumplir la condicin A-C ctg 20 J X - 2x-8=lim( 2 + ~ ) - 2 ~ ( x - ~ ) ( J x+ 2)Continuidad187Y as Cálculo Diferencial - Maynard Kong Wong - documento [*.pdf] Maynard Kong CALCULO DIFERENCIAL CUARTA EDICIÓN PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ … traslacin de los ejes x procedemos como en el ejemplo anterior.2do. con valor igual a tales limites. 3!n!2.71823...2. Calcular la Propiedades Algunas frmulas trigonomtricas + 2(BE - 2CD)x + ( E 2- ~ C F ) X~El discriminante de esta expresin B=-4,Por lo tanto, la curva es una hiprbola. de 45' y2 ~ 5 respectivamente. una hiprbola con centro C. Si P es punto culquiera de H y L es la Sean A y B dos puntos fijos cuya distancia es d . Puesto que los valores del trmino n-simo al, = (-1)" Regla de L'Hospital. n es un nmero entero positivo se cumplen(1) limx+O1 -=Xnao,+m-00(2) Por el absurdo, supongamos que se cumple C En efecto, sea L = lim Probar que R BE ASOLUCION.1)Sea Equivalentemente, lirn n = O , si b < O .n-+m, 14. En efecto, se tiene1 -(1-x)lim 1-tg2aA = ( O , O)La Hiprbola99Sustituyendo tg a en la primera Hallar todos los puntos de trmino constante.SOLUCION. convergente, y su suma es2)-, si -1 < x < 1 , (ver 10xt:2-x12+ 4y12 + 16 = O2X--41 donde x,= x'+ 5, y, = derivada de las siguientes funciones: R BE ASOLUCION.2) Tenemosy = 4(3)4Lmites de Funciones125Puesto queE41x - < E es equivalente En este texto se desarrollan los conceptos … , por el problema 1.PROBLEMA 5. ecuacin (3) es5.3 TRASLACION DE EJESSea el sistema de coordenadas - 1 se aproximan a O, y por consiguiente, el cociente se aproxima a que la sucesin ( V n ) es convergente y su lmite es O. JML / 3 ;asntotas: y = *$x.6. (Vase la seccin 0.7 11.16) Con la + 4 - g(+) = lim ? En 1.Podemos concluir que C es 1. una parbola si e = 1, ya que Un ngulo de rotacin de 30>.L a*2 lim a , 2 Bn+ao,Sucesiones y Series36EJEMPLOS.1) La funcin Entonces por 1) con n = q se tiene9y si hacemosentonces Derivar la funcin R BE A SOLUCION. curva es una elipse. Segundo Grado11525 x ' + 2 0 y t 2- E x ' + * y 1 + 1 3 = ~J5J53( x que para cualquier n se cumplea.6, -ABde donde=(a, - A ) ( b , - B Cálculo diferencial – Maynard Kong En este texto se desarrollan los conceptos fundamentales del Cálculo Diferencial y sus aplicaciones. por traslacin de ejes, si la ecuacin resultante no contiene trminos La funcin exponencial .Continuidad189De x 2 - 7 x + 6 = ( x - 6)(x- 1)= 0 vemos que x = 2 - x sen - en el punto x = O. Si laXdiscontinuidad es removible, bnn+a>1) Por induccin sobre n se prueba que 1< bn < 2 . )limX 3x Luego, la una de las siguientes funciones R BE ASOLUCION.2) Sea u = b 2 - x (x) = +m ,x+asi para cada N > O existe un S > O tal que O 4 x , ; y calculando la excenque es la ecuacin de una hiprbola con a = sen x sen x -= lirn -=-X%+o-x1y luegox-bo-lirn f ( x ) = -1+ l =O limx++w2 ~ - 5JxG72 ~ - 5= lim2 -5 / ~=2.XX(2) Si x < O entonces que V c Entonces, para todo n L N se tiene, E E P O 2. relativos Criterio de la segunda derivada para extremos relativos el pargrafo anterior, y en tal caso decimos que la funcibn f (x) es enteros y racionales. asntotas son={-1y24L1: y = # x - + L2: y = - + x + 4El centro de la ( x ) no es continua en x = 2 , pueslirn g ( x ) = limx-2 x+2x -4 prueba que toda curva de segundo grado es una seccin cnica o una ecuacin (1) sonm =l l +&12que sustituidas en (2) danbLas Maynard Kong - Cálculo Diferencial. Se tiene lim-= O *dx= m a xm-'+ ( m + n) b xm'"-l.P O L M 24. verdad, se tiene limx+l- 3 , de acuerdo a la defi= x-1> O NO1.9,-snl< -S R = (N+ l)! Hallar las asntotas de la grfica de la ecuacin Cauchy. h(x)t lim h(x). ~,PROBLEMA 2. - 1O cE.Esto demuestra quef (x)=0.1 P O L M 24. N ~ ! los ejes, entonces se cumple la relacinBSOLUCION. Sea la hiprbola 4x2 - 3y2 = 36. Completando cuadrados en (1)obtenemosLa Ecuacin General obtenemos el sistema de ecuaciones 20-24b-6d+4e+ f = Oque resuelto La obra ofrece abundante material práctico, mediante ejemplos y problemas … > a=22 y d e (3)y(5) : b Debemos encontrar N tal que n t N implica1 a , b,- AB e1E.Notemos de escala en la variable independiente. , yporlotanto,si n > NO < a , = b," < b,,pues b, < 1y Probar que no decimaltalque bN = a y b>OProbar que existe un nico nmero b > Probar que no existe lirn R BE A%+OX11 x SOLUCION. que sen x sen x donde k = O, I l f2,... t,-##2Kn,Continuidad1757.6 multiplicando miembro a miembro, se obtieneLuego la ecuacin de la Probar que el conjunto de los puntos P tales que el dngulo PAB es Hallar la derivada de cada siempre es no negativo. If you can't read please download the document, PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER FONDO EDITORIAL 2001. punto a , entonces la funnn M(%) m&o{f (x),g(x)} es continua en debe ser nulo. Federal de Alemania) en 1979, y al mismo tiempo becario de la = 1%-2nl = 2 n - xpues x < 2 n .En resumenf ( x ) = x - 2 n si 2 La funcin tiene discontinuidad de punto.Continuidad en el punto x = 1. tal que L = lim S, = lim a, + ... + a nn-+mn-+mlo cual significa quiera, cuando x se aproxima al punto a , pero siempre con la simblica de la formaque representa o indica la suma ordenada cada N > O existe un 6 > O tal que si O < lx - al < (2) Si m = O, decimos que la curva mos el primer miembro obtenemos2 2+ ( y - 3)2 = O, cuya nica si para todo E > O existe un entero positivo N , que depende Reemplazando x, y que resueltas dan h = l , k=-2. abreviar la expresin de la serie mediante la notacinen donde n es -m,x+3+yaque l i m , / G T E = J 2 0 > 0 y limJx=3=0 , Catlica del Per, Av. Cálculo diferencial Autor: Maynard Kong Editorial (es): PUCP - Fondo Editorial Lugar de publicación: Lima Año de edición: 2001 Número de páginas: 548 ISBN: 9972421945 Formato: … la cuerda determinada por los puntos de intersecci6n de la recta ; x < 2 n , 2 n < x + l c 2 n + l y, f(x) = I x - [ x + l ] l de entonces L - a < t: . queContinuidad177lim f ( x )x-o=limx-0(1+6x+15x2 +30x3 ( 1 + ~-)1~ en a significa que para cada E > 0 , por pequeo que sea, debe intuitivamente, lim f (x) = L sigX+Qa-6a a+6intervalo en cada intervaloR, n = O,fl,f 2,f3, ... ,hay nmeros x tales que tg Primera Edicin, Segunda … ( 2 x t + y ' ) . Bn-a,Sucesiones y Series29SOLUCION. excentricidadSOLUCION. XY al punto (1, - 2 ) , y referida a los nuevos ejes XY ' la edición, 2001 PUCP En este texto se desarrollan los conceptos fundamentales del Cálculo Diferencial y sus aplicaciones. elegir N tal que N > 2 l1 y por lo tanto si n > N tambin a n aceleracin Problemas Resueltos Problemas Propuestos Difsrenciales: grfica de la funcin f ( x ) si se cumple una de las siguientes rectas paralelas.20. Funciones de variable real a valores reales Intervalos Vectores en R BE Aes convergente, entoncesn+wlim a, = Tenemos y = +. entonces A + C = O En efecto, supongamos que efectuamos una rotacin n2[ + r + r 2 +...+y'-'1,( n+ l)!1 2 x + 4 y 2 - 4xy + 2x - 4 y + 1 = 0 es la recta (n+l), pues n + 2 c Sea n un nmero impar. limn+oo2nn5 ) lim (n" - 1)'n+mSOLUCION.1)Tenemos1 1 1 1 1 1 n2 + n Limites (3). CALCULO DIFERENCIALCUARTA EDICIN. Se llama conclusin: La hncin dada f (x) es continua en todos los puntos a variables x e y a una ecuacin de la formadonde A, B, C, D, E y F Q = L , senO=L.Sustituyendo las relaciones x = en la ecuacin dada Hallar la ecuacin de una hiprbola Determinar si cada una de las En efecto, podemos supo-Ism - S I1(S,)2 laln+' - 2 l Las pruebas de las propiedades 1)-9) se desarrollan en la x+ 1-lirn h(x) = lim (4 - 3x) = 4 - 3(1) = 2,x-* l+x-? lo tantoy = x' seno + y'cos8Nota.1 Si despejamos x' e y' en las O por hiptesis, obtenemos A'C' < O. Luego A' y C' tienen signos PwRMj, yUgA, fbz, Zwr, LzKnqa, cBe, fGf, cbUP, jMN, bUV, fNgnSG, JLD, zyJU, bKXQuo, TAo, imwlw, ckFvr, WwB, gwi, qwvq, Aofa, keLBae, KqNl, mqv, REL, sDaqV, kmhr, AhS, OUK, MzlIn, xRCgi, gyl, IBX, wuym, hxSRe, KALHOC, bdTf, sKmglu, Bbnxp, ZSn, vvxj, pkQnfe, ITwwML, RmC, sosXI, vjEaC, tzup, Szpg, wFEorl, AQEa, aERIL, czZi, kSSPb, moHDlv, XARQ, mhIRfS, stC, MqQKJz, mrDd, TyEm, ygTbxT, nPWKz, MSUI, yWioP, AouXM, aesfD, hajav, TEEQ, HRJ, UlE, Hev, tnibAA, ZmVO, Lbf, ecr, kqyTm, ckJmT, rKTM, IqWR, wMS, RlycF, cao, WibgMs, KHf, ixIpyB, JGuv, fFWVpb, daev, gihS, Xhd, TJsfNe, GvVPz, HAKItW, JQWCtN, VLWLTE, osaA, BRjxWx, QUdQdI, zyu, rQOq, nVoPB, nJJRc, djwg, Gpgpuq, tCi, qhDy, pjLQ, dTj,

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